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线代期末复盘

辛朝阳笔记

几类特殊矩阵

可逆矩阵

概念：\(A,B\) 为 \(n\) 阶方阵，且 \(AB=BA=I_n\) 判定：\(A\) 可逆 \(\Leftrightarrow |A|\ne 0\) 求法

  • \(A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|}\)
  • \(\begin{bmatrix}A&I_n\end{bmatrix}\stackrel{行变换}{\longrightarrow}\begin{bmatrix}I_n&A\end{bmatrix}\)
  • 初等矩阵的逆
    • 对换矩阵：\(P_{ij}^{-1}= P_{ij}\)
    • 倍乘矩阵：\(E_{ii; k}^{-1}= E_{ii;\frac{1}{k}}\)
    • 倍加矩阵：\(E_{ji; k}^{-1}= E_{ji;-k}\)

性质

  • \((A^{-1})^{-1}= A\)
  • \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\)
  • \((kA)^{-1}=\dfrac{1}{k}A^{-1}\)
  • \((AB)^{-1}= B^{-1}A^{-1}\)
  • \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)
  • \((A^k)^{-1}=(A^{-1})^k\)

实对称矩阵

\[A^T=A\\\]

性质：特征多项式的根都是 实根，实对称矩阵在 \(\mathbb{C}\) 上的特征值都是 实数 实对称矩阵的谱分解

  • 概念：对于 \(n\) 阶实对称矩阵 \(A\)，存在 \(n\) 阶正交矩阵 \(Q\) 和实对角矩阵 \(\varLambda\)，使得 \(A = Q\varLambda Q^T\)
  • 性质
    • 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量互相正交 正交相似
  • 概念：对于实方阵 \(A, B\)，如果存在正交矩阵 \(Q\) 使得 \(Q^TAQ = B\)，则称 \(A\) 和 \(B\) 正交相似

设实对称矩阵 \(A\) 的特征值为 \(\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_n\)，相应的特征向量为 \(\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2,\cdots,\mathbf{q}_n\)，则

\[\lambda_1=\max_{\mathbf x\ne 0}\dfrac{\mathbf{x}^TA\mathbf{x}}{\mathbf{x}^T\mathbf{x}}\\\]
\[\lambda_i=\max_{\mathbf{x}\ne 0,\mathbf{x}\perp\mathrm{span}{(\mathbf{q}_1,\cdots,\mathbf{q}_{i-1})}}\dfrac{\mathbf{x}^TA\mathbf{x}}{\mathbf{x}^T\mathbf{x}},i=2,\cdots,n\\\]
\[\lambda_n=\min_{\mathbf{x}\ne 0}\dfrac{\mathbf{x}^TA\mathbf{x}}{\mathbf{x}^T\mathbf{x}}\\\]
\[\lambda_i=\min_{\mathbf{x}\ne0,\mathbf{x}\perp\mathrm{span}(\mathbf{q}_{i+1},\cdots,\mathbf{q}_n)}\dfrac{\mathbf{x}^TA\mathbf{x}}{\mathbf{x}^T\mathbf{x}},i=1,\cdots,n-1\\\]

正交矩阵

概念：\(n\) 阶方阵 \(Q\) 满足 \(Q^TQ=I_n\) 性质

  • \(QQ^T = I_n\)
  • \(Q^{-1}= Q^T\)
  • \(Q^T\) 也是正交矩阵
  • \(Q\) 可逆
  • \(Q\) 的列向量构成 \(\mathbb{R^n}\) 的一组标准正交基
  • \(Q\) 的行向量的转置组成 \(\mathbb{R^n}\) 的一组标准正交基
  • \(|Q|\) 等于 \(1\) 或 \(-1\)
  • \(Q\) 的特征值等于 \(\pm 1\)
  • \(\forall \mathbf x\in \mathbb{R^n},\Vert Q\mathbf x\Vert =\Vert \mathbf x\|\)
  • \(\forall \mathbf x,\mathbf y\in\mathbb{R^n},(Q\mathbf x)^T(Q\mathbf y)=\mathbf x^T\mathbf y\)（变换前后内积相等）

正定矩阵

概念：给定 \(n\) 阶实矩阵 \(A\)，如果对任意非零向量 \(\mathbf{x}\in\mathbb{R^n}\)，都有 \(\mathbf{x}^T\mathbf{x}>0\)，则称 \(A\) 正定 判定：对于实对称矩阵 \(A\)

  • \(A\) 的特征值都是正数
  • 存在 可逆 矩阵 \(T\)，使得 \(A = TT^T\)
  • \(A\) 有 \(LDL^T\) 分解，且 \(D\) 的对角元素都是正数
  • \(A\) 的顺序主子式都是正数
  • \(A\) 的顺序主子阵都正定

类似定义

  • \(\mathbf{x}^TA\mathbf{x}> 0\Rightarrow\) 矩阵 \(A\) 正定
  • \(\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\ge 0\Rightarrow\) 矩阵 \(A\) 半正定
  • \(\mathbf{x}^TA\mathbf{x}< 0\Rightarrow\) 矩阵 \(A\) 负定
  • \(\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\le 0\Rightarrow\) 矩阵 \(A\) 半负定
  • 不满足任一种，则称 \(A\) 不定

半正定的判定：对于 实对称矩阵 \(A\)

  • \(A\) 的特征值都是非负数
  • 存在矩阵 \(T\)，使得 \(A = TT^T\)
  • 存在 \(LDL^T\) 分解，且 \(D\) 的对角元素都是非负数

不定矩阵的性质

  • 对于 \(n\) 阶实对称矩阵 \(A\)，若存在 \(\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R^n}\)，使得 \(\mathbf{x}^TA\mathbf{x}> 0,\mathbf{y}^TA\mathbf{y}< 0\)，则存在非零向量 \(\mathbf{z}\in\mathbb{R^n}\)，使得 \(\mathbf{z}^TA\mathbf{z}= 0\)

伴随矩阵

概念：方阵 \(A\) 的代数余子式按顺序构成的矩阵的 转置 性质

  • \(A\) 可逆当且仅当 \(A^*\) 可逆
  • \(AA^*= A^* A =|A|I_n\)
  • 若 \(A\) 可逆，则 \(A^*=|A|A^{-1}\)
  • \(\left\{\begin{aligned}&\mathrm{rank}(A)= n\rightarrow \mathrm{rank}(A^*)= n\\&\mathrm{rank}(A)= n-1\rightarrow\mathrm{rank}(A^*)= 1\\&\mathrm{rank}(A)< n-1\rightarrow\mathrm{rank}(A^*)= 0\end{aligned}\right.\)
  • \(|A^*|=|A|^{n-1}\)
  • \({(A^*)}^* =|A|^{n-2}A\)
  • \((kA)^*= k^{n-1}A^*\)
  • \((AB)^*= B^* A^*\)
  • \((A^{-1})^*=(A^*)^{-1}\)
  • \((A^T)^*=(A^*)^T\)

幂等矩阵

概念：\(n\) 阶方阵满足 \(P^2=P\) 性质

  • 特征值为 \(0\) 和 \(1\)，\(1\) 的重数为 \(\mathrm{rank}(P)\)
  • \(P\) 可相似对角化
  • \(I-P\) 也是幂等矩阵
  • \(\mathcal{N}(P)=\mathcal{R}(I-P),\mathcal{R}(P)=\mathcal{N}(I-P)\)
  • \(\forall \mathbf x\in \mathcal{R}(P), P\mathbf x =\mathbf x\)
  • 幂等矩阵是投影矩阵，是沿着 \(\mathcal{N}(P)\) 向 \(\mathcal{R}(P)\) 的投影

矩阵的秩

概念：非零子式的最高阶数 求法：初等行变换，阶梯形矩阵主元的个数 性质

  • \(\mathrm{rank}(A)= 0\Leftrightarrow A = O\)
  • \(\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^T)=\mathrm{rank}(AA^T)=\mathrm{rank}(A^TA)\)
  • \(\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)-n\le \mathrm{rank}(AB)\le \min\{\mathrm{rank}(A),\mathrm{rank}(B)\}\)
  • \(\max\{\mathrm{rank}(A),\mathrm{rank}(B)\}\le \mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}\le \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)\)
  • \(\mathrm{rank}(A\pm B)\le \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)\)
  • \(\mathrm{rank}(kA)=\mathrm{rank}(A)\)
  • 若方阵 \(A, B\) 有 \(AB = O\)，则 \(\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)\le n\)
  • \(C =\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}\rightarrow\mathrm{rank}(C)=\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)\)
  • \(D =\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\rightarrow \mathrm{rank}(D)\ge\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)\)
  • \(A^2 = A\Longleftrightarrow\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(I-A)= n\)
  • \(\mathrm{rank}(ABC)\ge\mathrm{rank}(AB)+\mathrm{rank}(BC)-\mathrm{rank}(B)\)
  • \(\mathrm{rank}(I-AB)=\mathrm{rank}(I-BA)\)

矩阵列空间的维数 \(\dim\mathcal R(A)\) 为矩阵的秩，记为 \(\mathrm{rank}(A)\) 矩阵零空间的维数 \(\dim\mathcal {N}(A)\) 为矩阵的零度，记为 \(\mathrm{nullity}(A)\) 秩 - 零度定理：\(\mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A)=n\)

矩阵的关系

矩阵相抵（等价）

概念

  • 存在可逆矩阵 \(P\)，使得 \(PA = B\)，则称 \(A\) 与 \(B\) 左相抵
  • 存在可逆矩阵 \(P, Q\)，使得 \(PAQ = B\)，则称 \(A\) 与 \(B\) 相抵 相抵标准形 \(D_r=\begin{pmatrix}I_r&O\\O&O\end{pmatrix}\)

矩阵相似

概念：存在一个可逆矩阵 \(P\)，使得 \(P^{-1}AP=B\)，则称 \(A\) 与 \(B\) 相似 判定：若 \(A,B\) 均可相似对角化，且 \(A\) 与 \(B\) 的特征值相同，则 \(A\) 与 \(B\) 相似 性质：若 \(A\) 与 \(B\) 相似，则 \(A\) 与 \(B\) 的 特征值、秩、迹、行列式、代数重数、特征多项式 相同 矩阵 \(A\) 可相似对角化的条件：矩阵 \(A\) 的任意特征值的几何重数与其代数重数相等 几何重数与代数重数

  • 几何重数：方程 \((\lambda I-A)\mathbf{x}= 0\) 的基础解系的个数
  • 代数重数：特征值在特征方程解中重复的次数 同时对角化：若对 \(n\) 阶方阵 \(A,B\)，存在可逆矩阵 \(X\) 使得 \(X^{-1}AX=\varLambda_1,X^{-1}BX=\varLambda_2\) 都是对角矩阵
  • 存在 \(n\) 个线性无关的向量，同时是 \(A, B\) 的特征向量
  • \(AB = BA\)

矩阵合同

概念：方阵 \(A\)，存在可逆矩阵 \(X\)，使得 \(X^TAX=B\)，则称 \(A\) 和 \(B\) 合同 判定：两方阵 \(A,B\) 的特征值的正负性相同 合同标准形 \(\begin{bmatrix}I_p\\&-I_{r-p}\\&&O\end{bmatrix}\) 惯性指数

  • 合同标准形中，\(p\) 称为 \(A\) 的 正惯性指数，\(r-p\) 为 \(A\) 的 负惯性指数，三元组 \((p, n-p, n-r)\) 称为 \(A\) 的 惯性指数 性质
  • 实对称矩阵相似一定合同，合同不一定相似
  • 合同矩阵的秩相同，等于 \(r\)
  • 若 \(\mathrm{rank}(A)= 1\)，则 \(A^n =\left(\mathbf{a}\mathbf{b}^T\right)^n =\mathbf{a}\left(\mathbf{b}^T\mathbf{a}\right)^{n-1}\mathbf{b}^T =\left(\mathbf{b}^T\mathbf{a}\right)^{n-1}A =\mathrm{trace}(A)^{n-1}A\)，同时其 特征值 为 \(0,0,\cdots,0,\mathrm{trace}(A)\)

<缺失的图片>

二次型

概念：齐二次函数 \(\displaystyle f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j\) 称为自变量 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的 二次型 性质

  • 存在 实对称 矩阵 \(A =\left [\dfrac{a_{ij}+a_{ji}}{2}\right]\) 使得 \(f =\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\)，此时称 \(A\) 为二次型矩阵
  • 若 \(f =\mathbf x^TA\mathbf x\)，但 \(A\) 不为实对称矩阵，则二次型矩阵为 \(\dfrac{A+A^T}{2}\) 正负惯性指数
  • 求二次型矩阵的特征值
  • 配方法：\(A = T^TJT,\mathbf y = T\mathbf x =\begin{bmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{bmatrix}\)，则 \(f(\mathbf{x})= y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2\) 可逆线性变换
  • 令 \(\mathbf x = C\mathbf y\) \((C\small 可逆)\)，则 \(f =\mathbf x^TA\mathbf x =(C\mathbf y)^TA(C\mathbf y)=\mathbf y^TC^TAC\mathbf y\)，令 \(B = C^TAC\)，两二次型矩阵合同

矩阵分解

LU 分解

概念：对 \(n\) 阶方阵 \(A\)，存在 \(n\) 阶单位下三角矩阵 \(L\) 和 \(n\) 阶上三角矩阵 \(U\)，使得 \(A=LU\) 性质：对 \(n\) 阶可逆矩阵 \(A\)，\(A\) 有 \(LU\) 分解 当且仅当 \(A\) 的所有顺序主子阵都可逆，此时 \(A\) 的 \(LU\) 分解唯一 可逆矩阵有 \(LDU\) 分解（\(L,U\) 分别为单位下三角矩阵和单位上三角矩阵） 可逆对称 矩阵有 \(LDL^T\) 分解 \(PLU\) 分解，\(L\) 为单位下三角矩阵

QR 分解

概念：对矩阵 \(A\)，存在唯一分解 \(A=QR\)，其中 \(Q\) 是正交矩阵，\(R\) 是上三角矩阵。特别地，若 \(A\) 可逆，则 \(R\) 的对角元全为正数 可逆矩阵 \(\text{QR}\) 分解

  • 第一步：取一组基
  • 第二步：\(\text{Gram-Schmidt}\) 正交化，得到 \(\widetilde{Q}\)
  • 第三步：单位化 一般矩阵 \(A\) 的 \(\text{QR}\) 分解
  • 第一步：找出 \(A = Q_1R_1\)，其中 \(Q_1\) 为 列正交矩阵，\(R_1\) 为具有非负对角元的 \(n\) 阶上三角矩阵。此过程可以逐列计算
  • 第二步：进行扩充 \(Q =\begin{bmatrix}Q_1&Q_2\end{bmatrix}\)，\(R =\begin{bmatrix}R_1\\O\end{bmatrix}\)

谱分解

对方阵 \(A\)，存在可逆矩阵 \(X\) 使得 \(X^{-1}AX=\varLambda\)，\(\varLambda\) 为对角矩阵，则 \(A=X\varLambda X^{-1}\) 称为 \(A\) 的谱分解 谱分解的步骤

  • 求特征值，\(\det(\lambda I-A)= 0\)
  • 求方程 \((\lambda I-A)\mathbf x =\mathbf0\) 的基础解系
  • 实对称矩阵还需对每个 \(\lambda_i\) 对应的基础解系进行 正交化

意义：\(A^t=\left(X\varLambda X^{-1}\right)^t=X\varLambda^tX^{-1}\) 可对角化的判定

  • \(A\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量
  • \(A\) 的特征向量构成 \(\mathbb{F^n}\) 的一组基
  • \(A\) 的属于不同特征子空间的维数之和为 \(n\)
  • \(A\) 的属于不同特征子空间的直和为 \(\mathbb{F^n}\)
  • \(A\) 的所有特征值的几何重数等于代数重数

奇异值分解

奇异值：\(m\times n\) 的矩阵 \(A\)，\(\exists \mathbf x\in\mathbb{R^n},\mathbf y\in\mathbb{R^m},A\mathbf x=\sigma \mathbf y,A^T\mathbf y=\sigma \mathbf x\)，则称 \(\sigma\) 为 \(A\) 的奇异值，\(\mathbf x\) 为 \(A\) 的属于 \(\sigma\) 的 右奇异向量，\(\mathbf y\) 为 \(A\) 的属于 \(\sigma\) 的 左奇异向量

  • \(A\) 的右奇异向量是 \(A^TA\) 的特征向量，\(A\) 的左奇异向量是 \(AA^T\) 的特征向量
  • \(A\) 的特征值是 \(A^TA\) 或 \(AA^T\) 的 算数平方根

给定 \(m\times n\) 矩阵 \(A\)，\(m\) 阶正交矩阵 \(U\) 和 \(n\) 阶正交矩阵 \(V\)，使得 \(A=U\varSigma V^T\)，其中 \(\varSigma=\begin{bmatrix}\varSigma_r&O\\O&O\end{bmatrix},\varSigma_r=\begin{bmatrix}\sigma_1\\&\ddots\\&&\sigma_r\end{bmatrix}(\sigma_1\ge \cdots\ge\sigma_r)\) 奇异值分解的步骤

  • \(AA^T\) 进行谱分解 \(AA^T = U\varSigma^2U^T\)（\(A^TA\) 进行谱分解 \(A^TA = V\varSigma^2V^T\)）
  • \(U = AV\varSigma^{-1}\)（\(V =(\varSigma^{-1}U^TA)^T\)）

矩阵的广义逆：\(A^+=V_r\varSigma_r^{-1}U_r^T\) 矩阵的谱范数：\(\displaystyle\|A\|=\max_{\mathbf x\ne 0}\dfrac{\|A\mathbf x\|}{\|\mathbf x\|}\)

  • \(\|A\|\ge 0\)
  • \(\|A\|= 0\) 当且仅当 \(A = O\)
  • \(\|kA\|=|k|\|A\|\)
  • \(\|A+B\|\le \|A\|+\|B\|\)
  • \(\|AB\|\le\|A\|\|B\|\)
  • 若 \(U, V\) 正交，则 \(\|UAV^T\|=\|A\|\)

矩阵的 \(F\) 范数：对任意矩阵 \(\displaystyle A=[a_{ij}]_{m\times n}\) \(\|A\|_F=\sqrt{\mathrm{trace}(A^TA)}=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^2}\)

  • \(\|A\|_F\ge 0\)
  • \(\|A\|_F = 0\) 当且仅当 \(A = O\)
  • \(\|kA\|_F =|k|\|A\|_F\)
  • \(\|A+B\|_F\le \|A\|_F+\|B\|_F\)
  • \(\|AB\|_F\le \|A\|\|B\|_F,\|AB\|\le \|A\|_F\|B\|,\|AB\|_F\le\|A\|_F\|B\|_F\)
  • 若 \(U, V\) 正交，则 \(\|UAV^T\|_F =\|A\|_F\)
  • \(\|A\|^2_F\) 等于 \(A\) 的所有奇异值的平方和

线性空间

线性空间的条件

集合非空 加法和数乘封闭 加法结合律 加法交换律 零元素 负元素 单位 \(1\) 数乘结合律 数乘对数的分配律 数乘对向量的分配律

线性空间的性质

零向量唯一 任一向量的负向量唯一 \(\mathbf a+\mathbf b=\mathbf a+\mathbf c\Rightarrow \mathbf b=\mathbf c\) \(\mathbf a+\mathbf b=\mathbf c\Rightarrow \mathbf a=\mathbf c-\mathbf b\) \(0\mathbf a=\mathbf 0,k\mathbf 0=\mathbf 0\) \(k\mathbf a=\mathbf b,k\ne0\Rightarrow \mathbf a=\dfrac{1}{k}\mathbf b\)

几种线性空间

数组向量空间

  • \(m\) 维向量的全体 \(\mathbb{F^m}\)
  • 子集：列空间 \(\mathcal{R}(A),\mathcal{N}(A)\)

矩阵空间

  • \(m\times n\) 矩阵的全体 \(\mathbb F^{m\times n}\)
  • 子集：\(n\) 阶上（下）三角矩阵的全体；\(n\) 阶对角矩阵的全体；\(n\) 阶（反）对称矩阵的全体

函数空间

  • 定义域为 \(D\) 的实值函数 \(f: D\to \mathbb{R}\) 的全体构成 \(\mathbb{R}\) 上的线性空间
  • 其中连续函数的全体称为连续函数空间 \(C(D)\)
  • 无穷次可导函数的全体称为光滑函数空间 \(C^\infty(D)\)
  • 式系数多项式的全体构成 \(\mathbb{R}\) 上的线性空间，称为多项式空间 \(\mathbb{R}[x]\)
  • 次数 小于 \(n\) 的实系数多项式的全体 \(\mathbb{R}[x]_n\)
  • 系数取自 \(\mathbb F\) 的多项式的全体 \(\mathbb{F}[x]\)，次数小于 \(n\) 的多项式 \(\mathbb{F}[x]_n\)

线性子空间

概念：线性空间 \(\mathcal{V}\) 的 非空 子集 \(\mathcal{M}\) 是一个子空间，当且仅当它对 \(\mathcal V\) 上的加法和数乘封闭 子空间的交：集合 \(\mathcal M_1\cap \mathcal M_2\) 子空间的和：集合 \(\mathcal M_1+\mathcal M_2=\{\mathbf m_1+\mathbf m_2\;|\;\mathbf m_1\in \mathcal M_1,\mathbf m_2\in \mathcal M_2\}\)

  • 子空间的直和：每个元素有唯一分解式，记为 \(\mathcal M_1\oplus \mathcal M_2\)
  • 直和的判定
    • \(\mathbf 0 =\mathbf m_1+\mathbf m_2,\mathbf m_1\in \mathcal M_1,\mathbf m_2\in \mathcal M_2\Rightarrow \mathbf m_1 =\mathbf m_2 =\mathbf 0\)
    • \(\mathcal {M_1\cap M_2}=\{\mathbf 0\}\)

矩阵 \(A_{m\times n}\) 的子空间

  • 列空间：\(\mathcal{R}(A),\dim{\mathcal{R}(A)= r}\)
  • 行空间：\(\mathcal{R}(A^T),\dim{\mathcal{R}(A^T)= r}\)
  • 零空间：\(\mathcal{N}(A),\dim{\mathcal{N}(A)}= n-r\)
  • 左零空间：\(\mathcal{N}(A^T),\dim{\mathcal{N}(A^T)}= m-r\)

矩阵 \(A\) 子空间的正交关系

  • \(\mathcal{R}(A)^\perp =\mathcal{N}(A^T)\)
  • \(\mathcal{N}(A)^\perp =\mathcal{R}(A^T)\)

投影

正交投影

概念：线性变换 \(P:\mathbb{R^n}\to\mathcal{M}\)，满足 \(\forall\mathbf a\in\mathbb{R^n},P(\mathbf a)\perp (\mathbf a-P(\mathbf a))\) 性质

  • \(I_n = P_{\mathcal M}+P_{\mathcal M^\perp}\)
  • \(\displaystyle\|\mathbf a-P(\mathbf a)\|=\min_{\mathbf x\in \mathcal M}\|\mathbf a-\mathbf x\|\)

正交投影矩阵

概念：矩阵 \(A\) 的列空间上的正交投影的表示矩阵 \(P_{\mathcal R(A)}\) 为关于 \(A\) 的正交投影矩阵，简记为 \(P_A\) 若矩阵 \(A\) 列满秩，则 \(P_A=A(A^TA)^{-1}A^T\) 一般地，\(\left\{\begin{aligned}&P_{\mathcal{R}(A)}=AA^+\\&P_{\mathcal{R}(A^T)}=A^+A\\&P_{\mathcal{N}(A)}=I-A^+A\\&P_{\mathcal{N}(A^T)}=I-AA^+\end{aligned}\right.\) 性质

  • 正交投影矩阵是特殊的 幂等矩阵
  • \(\mathcal{R}(P_A)\perp\mathcal{N}(P_A)\)
  • \(P_A^T = P_A\)

行列式

初等矩阵的行列式

  • 对换矩阵：\(|P_{ij}|=-1\)
  • 倍乘矩阵：\(|E_{ii; k}|= k\)
  • 倍加矩阵：\(|E_{ji; k}|= 1\)

代数余子式：\(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}=(-1)^{i+j}\det\left(A\begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix}\right)\)

行列式的展开式

  • \(\det(A)= a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots+a_{nj}C_{nj}\)
  • \(\det(A)= a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots+a_{in}C_{in}\)

性质

  • 令 \(A =\begin{bmatrix}\mathbf a_1&\cdots&\mathbf a_n\end{bmatrix}\)，记 \(\mathbf c_j =\begin{bmatrix}C_{1j}\\\vdots\\C_{nj}\end{bmatrix}\)，则 \(\mathbf a_i^T\mathbf c_j = 0(i\ne j),\mathbf a^T_j\mathbf c_j =\det(A)\)
  • \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\)
  • \(\det(A)=\det(A^T)\)
  • \(\det(kA)= k^n\det(A)\)
  • \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)
  • \(\det\begin{pmatrix}A&\mathbf a+\mathbf b &B\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}A&\mathbf a & B\end{pmatrix}+\det\begin{pmatrix}A&\mathbf b&B\end{pmatrix}\)
  • \(\det\begin{pmatrix}A\\\mathbf a+\mathbf b\\B\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}A\\\mathbf a\\B\end{pmatrix}+\det\begin{pmatrix}A\\\mathbf b\\B\end{pmatrix}\)

计算技巧

  • 升阶法
  • 降阶法
  • 递推法
  • 化三角矩阵

特殊矩阵的行列式

  • 范德蒙矩阵：\(\displaystyle V(x_1,\cdots, x_n)=\prod_{1\le j < i\le n}(x_i-x_j)\) cramer 法则
  • 记 \(A =\begin{bmatrix}\mathbf a_1&\mathbf a_2&\cdots&\mathbf a_n\end{bmatrix}\)，\(\det(A)\ne 0\) 时，方程 \(A\mathbf x =\mathbf b\) 有唯一解，记用 \(\mathbf b\) 替换掉 \(A\) 中 \(\mathbf a_i\) 的矩阵为 \(B_i\)，则 \(x_i =\dfrac{\det(B_i)}{\det(A)}\)

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